Для младших школьников, привыкших к тому, что числа используются для подсчёта или указания порядкового номера предметов, может стать настоящим открытием существование не только положительных, но и отрицательных чисел. В средней школе, когда ученики знакомятся с понятием целых чисел, у них могут возникнуть сложности в выполнении арифметических операций с ними.

В этом материале мы простыми словами объясняем, что такое целое число, чем оно отличается от натурального и какими свойствами обладает.

Содержание:

Что такое целые числа?
- Какими бывают целые числа?
Все свойства целых чисел
История изучения целых чисел
Часто задаваемые вопросы по теме
- Что такое целые числа простыми словами?
- Как выглядят целые числа?
- В чём разница между натуральным и целым числом?
- Ноль — это целое число или нет?

Что такое целые числа?

целое число это — Studio.G photography/Shutterstock.com

В начальной школе дети изучают понятие натуральных чисел — тех, которые мы используем для счёта. При помощи натуральных чисел ребёнок может сосчитать количество игрушек, конфет или любых других предметов. Но уже с пятого класса вводится определение целых чисел: это все натуральные числа, все противоположные натуральным (то есть со знаком «минус») и ноль. Иными словами, к целым числам относятся все положительные и отрицательные числа, а также ноль.

Целые числа необходимы для того, чтобы производить различные вычисления не только в положительную сторону, но и в отрицательную. С одними только натуральными числами произвести подобные вычисления было бы невозможно. Так, если из меньшего числа вычесть большее, получится отрицательное число.

Допустим, нам необходимо решить задачу: днём температура воздуха на улице была 3°, а ночью опустилась на 9°. Узнать, какая температура была ночью, нам поможет простой пример:

3–9 = –6

Отличительная особенность целых чисел — отсутствие дробной части или десятичных дробей. Значит, такие числа, как 314, –0,5 или 10,25 к целым не относятся.

Ряд целых чисел бесконечен, поэтому невозможно назвать наибольшее или наименьшее целое число. Множество целых чисел обозначается символом Z — по первой букве немецкого слова Zahlen, имеющего значение «числа». Это множество можно представить таким образом:

{∞… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…∞}

Какими бывают целые числа?

целые числа пример — granata68/Shutterstock.com

Целые числа можно представить в виде числовой прямой: в центре неё расположен ноль, слева от него — числа со знаком «минус», а справа — натуральные числа.

целые числа

Источник: arumath.ru

Таким образом, целые числа могут быть положительными и отрицательными:

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс», или натуральные числа. Они всегда больше нуля: 21, 5, 156 и т. д.
Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус», то есть они всегда меньше нуля: –7, –23, –752 и т. д. Все положительные, отрицательные числа и ноль образуют бесконечное множество целых чисел.

Что касается нуля, он не является ни положительным, ни отрицательным числом. Все положительные целые числа вместе с нулём называются неотрицательными, а все отрицательные целые числа вместе с нулём принято называть неположительными целыми числами.

Иными словами, неотрицательные целые числа — это те, которые больше либо равны нулю (100, 45, 0 и т. д.), а неположительные — те, которые меньше либо равны нулю (–17, 0, –129 и другие). Эти два термина используются для удобства и краткости формулировки условий задач. Допустим, нам необходимо сказать, что число b — это целое число, которое меньше или равно нулю, но проще определить его как целое неположительное число.

Отправляя ребёнка в школу, позаботьтесь об его безопасности. Установите приложение «Где мои дети», чтобы знать, где и когда он находится и что происходит вокруг него!

Все свойства целых чисел

что такое целое число — Daniel Jedzura/Shutterstock.com

Целые числа обладают некоторыми важными свойствами, которые необходимо знать, чтобы выполнять арифметические действия с ними:

замкнутость: выполняя сложение, вычитание или умножение целых чисел, в результате мы также получим целое число;
переместительность: неважно, в каком порядке мы складываем или умножаем целые числа, ведь результат будет одинаковым (4+2=2+4). Вычитание и деление целых чисел этим свойством не обладают;
распределительность: умножая целое число на сумму двух целых чисел, мы можем сначала умножить каждое слагаемое на это целое число, а затем сложить получившиеся произведения (3*(2+5)=3*2+3*5). Это же свойство применимо к операциям деления целых чисел: (6+8):2=6:2+8:2;
разность знаков: умножая число со знаком «+» на число со знаком «–», мы всегда получаем произведение со знаком «–». Умножая числа с одинаковыми знаками, в результате получается положительное число (4*(–2)= –8; (–4)*(–2)=8);
сочетательность: складывая и умножая три целых числа (или больше трёх), мы также можем по-разному группировать их без изменения конечного результата, например, 6*(4*2)=(6*4)*2;
свойство нуля при сложении и вычитании: если мы прибавляем к целому числу ноль или вычитаем его, результат не меняется (5+0=5; 5–0=5);
свойство нуля при умножении и делении: умножая любое число на ноль, в результате мы получаем ноль (7*0=0). Делить на ноль нельзя; но при делении нуля на любое число частное равно нулю (0:7=0);
свойство противоположного элемента: сумма одинаковых чисел с разными знаками всегда равна нулю (9+(–9)=0);
свойство единицы при умножении и делении: если любое целое число умножить или разделить на 1, результат останется неизменным.

Основные свойства сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел с примерами мы представили в виде таблицы:

Действие	Свойство	Пример
Сложение	Замкнутость	a+b∈Z
	Переместительность	a+b=b+a
	Сочетательность	a+(b+c)=(a+b)+c
	Свойство нуля	a+0=a
	Свойство противоположного элемента	a+(–a)=0
Вычитание	Замкнутость	a–b∈Z
	Свойство нуля	a–0=a
	Разность двух одинаковых целых чисел всегда равна нулю	a–a=0
	Свойство вычитания целого числа из суммы двух чисел	(a+b)–c=a+(b–c)=(a–c)+b
	Свойство вычитания суммы из целого числа	a–(b+c)=a–b–c
Умножение	Замкнутость	a*b∈Z
	Переместительность	ab=ba
	Сочетательность	a(bc)=(ab)c
	Распределительность	a(b+c)=ab+a*c
	Свойство единицы	a*1=a
	Свойство нуля	a*0=0
	Разность знаков	a(–b)= –ab ⠀ (–a)(–b)=ab
Деление	Распределительность	(a+b):c=a:c+b:c ⠀ (a–b):c=a:c–b:c
	Разность знаков	a:(–b)= –c ⠀ (–a):(–b)=c
	Любое целое число является делителем нуля	0:a=0
	Любое целое число можно разделить на 1 и на само себя	a:1=a ⠀ a:a=1

История изучения целых чисел

примеры целое число — Djakandakandaduo/Shutterstock.com

Теория чисел, изучающая свойства целых чисел, уходит корнями в древние времена. Более шести тысяч лет назад натуральные числа начали использовать для подсчёта домашнего скота, мешков с зерном и других осязаемых объектов.

Дальнейшее развитие теория чисел получила только во втором веке до нашей эры, когда появились отрицательные числа: в Древнем Китае их использовали для обозначения суммы долга. При этом в Европе отрицательные числа стали использовать лишь в средние века. Долгое время учёные не могли прийти к единому мнению относительно использования и свойств таких чисел, и только в XIX веке окончательно сформировалась теория отрицательных чисел.

неотрицательные числа

Прототипами цифр являлись зарубки на костях и кусках дерева, а впоследствии черточки. Источник: abakus-center.ru

Число 0 также прошло свою собственную непростую историю становления: о его существовании знали вавилонские учёные ещё в III веке до нашей эры, а также племена майя. Но в те времена учёные не рассматривали ноль как число, а обозначали специальными знаками: у вавилонян — двумя стрелами, поставленным наискось, а у майя — пробелом. Современное обозначение нуля появилось у индийцев в V веке.

целые числа таблица

Двадцатеричная система счисления индейцев племени Майя. Источник: abakus-center.ru

Сегодня сложно представить, как можно производить какие-либо арифметические действия без отрицательных чисел или, например, нуля. Целые числа используются в самых разных областях: математике, физике, информатике, экономике и не только. В повседневной жизни также было бы непросто обойтись без отрицательных и положительных чисел, поэтому важно помочь ребёнку разобраться в этой новой и непростой для него теме.

Часто задаваемые вопросы по теме

Проверьте, насколько хорошо ваш школьник разобрался в материале, задав ему вопросы из этого раздела.

Что такое целые числа простыми словами?

Целые числа — это положительные числа, отрицательные и ноль.

Как выглядят целые числа?

Целые числа включают в себя натуральные числа (1, 2, 3, 4,…) и им противоположные (–1, –2, –3, –4,…), а также ноль, но у них не может быть дробной части. Так, числа 514, –2,25 или, например, 0,175 целыми не являются.

В чём разница между натуральным и целым числом?

Натуральные числа используются для подсчёта материальных объектов — это положительные числа от единицы до бесконечности. Целые числа — расширение множества натуральных чисел, так как включают в себя ещё и отрицательные числа, и ноль. То есть любое натуральное число является целым, но не любое целое число относится к натуральным.

И целые, и натуральные числа входят во множество рациональных чисел, которое включает в себя ещё и обыкновенные дроби.

Ноль — это целое число или нет?

Да, ноль является целым числом, но не является натуральным.

Источник фото обложки: L Julia/Shutterstock.com